Barisan Aritmatika

Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika bila selisih antara dua suku yang berutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut beda (b).
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmatika!

a. 1, 5, 9, 13, ...
b. 2, 4, 8, 16, ...
c. 25, 22, 19, 16, ...

Untuk menentukan apakah barisan bilangan itu merupakan barisan aritmatika atau bukan, kita harus menentukan beda setiap suku berurutan. Barisan aritmatika selalu mempunyai beda yang sama.

a. Beda antara dua suku yang berurutan adalah 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang tetap = 4

b. Beda antara suku yang berurutan adalah 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8. Barisan ini bukan merupakan barisan aritmatika karena tidak mempunyai beda yang tetap.

c. Beda antara suku yang berurutan adalah 22-25=-3, 19-22=-3, 16-19. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang sama yaitu -3.

Menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b maka kita dapat menulis:

U₁ = a
U₂ = U₁ + b = a + b
U₃ = U₂ + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U₄ = U₃ + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b

U_n = a + (n-1)b

Contoh

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
a. Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
b. Suku ke 10 dari barisan tersebut.

a. 3, 7, 11, 15, ...
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah

U_n = a + (n-1)b

U_n = 4 + (n-1)4

U_n = 4n -1

Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah U_n = 4n -1

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh U_n = 4n -1. Dengan demikian,

U₁₀ = 4(10) -1 = 40 - 1 = 39

Jadi, suku ke 10 dari barisan tersebut adalah 39

Suku tengah barisan aritmatika

Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjildan lebih dari satu, tentu memiliki suku tengah (Ut). Suku tengah ini memiliki hubungan yang khas sebagai beriku:

Perhatikan barisan aritmatika:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Jika diambil tiga suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7. Maka Ut = 4, U₁=1, U_n= 7, berlaku hubungan:

Jika diambil lima suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7, 10, 13. Maka Ut = 7, U₁=1, U_n= 13, berlaku hubungan:

Demikian seterusnya jika diambil n suku ganjil maka berlaku hubungan :

Sisipan Barisan Aritmatika

Bila diketahui dua suku barisan aritmatika adalah x dan y. Diantara x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda b'. Maka barisan aritmatika tersebut dapat ditulis :

x, x + b', x + 2b', x + 3b', .... , x + kb', y (disisipkan sebanyak k)

Banyak sukunya menjadi k + 2

Selisih dua suku berurutan tetap. Maka berlaku :

(x + b') - x = y - (x + kb')

b' = y - x - kb'

kb' + b' = y - x

(k+1)b' = y - x

Karena y - x adalah beda mula-mula = b maka

Contoh :

Diantara tiap dua suku berurutan dari barisan 2, 11, 20 disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan baru tersebut!

Jawab :

Beda barisan semula (b) = 9 dan banyak bilangan yang disisipkan (k) = 2

Maka barisan yang terbentuk adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20