Rabu, 25 Agustus 2010

Jumlah dan Selisih Trigonometri

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)


Pembuktian:

Rumus penjumlahan dan pengurangan merupakan bentuk lain dari rumus perkalian sinus dan kosinus

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α . cos β

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α. sin β

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α . cos β

cos (α + β) - cos (α - β) = -2 cos α . cos β

Misalkan α + β = a dan α - β = b maka:

α + β = a

α - β = b +

α = 1/2(a + b)


α + β = a

α - β = b -

β = 1/2(a - b)

Sehingga rumus jumlah da selisih sinus dan kosinus menjadi :

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Contoh :
Tentukan nilai dari:

a. cos 750 + cos 150

b. sin 75 0 + sin 150

Jawaban :

a. cos 750 + cos 150 = 2 cos ½(750+150) . cos ½(750-150)

= 2 cos 450. cos 300

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

b. sin 750 + sin 150 = 2 sin ½(750+150) . cos ½(750-150)

= 2 sin 450. cos 300

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

Dua

Dua

Satu

Satu

Fungsi Kuadrat

Fungsi x pada himpunan R yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c ∈R dan a ≠ 0, dinamakan fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola.

Menggambar grafik fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah berupa parabola. Perlu diingat bahwa penulisan f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis y = ax2 + bx + c.

Untuk menggambar grafik y = ax2 + bx + c, kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:

  • Menentukan titik potong grafik di sumbu x (akar-akar persamaan kuadrat)
  • Menentukan persamaan sumbu simetri:

  • Menentukan titik puncak parabola

    Puncak parabola merupakan pasangan berurutan dari sumbu simetri dengan nilai ekstrim (Nilai absolut / Nilai Mutlak)

Ciri-ciri parabola y = ax2 + bx + c, dari tanda-tanda a, b, c, dan D

  1. Apabila a > 0 maka parabola terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum)
    Apabila a <>
  2. Apabila tanda b sama dengan tanda a, maka puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu y
    Apabila b = 0, puncak parabola terletak pada sumbu y
    Apabila a berlawanan dengan b , maka puncak parabola berada di sebelah kanan sumbu y
  3. Apabila c > 0, maka parabola memotong sumbu y positif
    Apabila c = 0, maka parabola melalui pusat koordinat
    Apabila c <>
  4. Apabila D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik
    Apabila D = 0 maka parabola memotong sumbu x di satu titik
    Apabila D > 0 maka parabola tidak memotong sumbu x

Sketsa grafik fungsi kuadrat:






Diskriminan

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan rumus abc :

Bentuk b2 - 4ac pada rumus diatas disebut Diskriminan. Biasanya ditulis

D = b2 - 4ac

Sehingga rumus abc dapat ditulis :

Nilai diskriminan menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

  • Jika D > 0 maka persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real yang berbeda
  • Jika D = 0 maka persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real sama (akar kembar)
  • Jika D <>

Diskriminan persamaan kuadrat diantaranya digunakan untuk :

  • Menentukan nilai maksimum dan minimum
  • Mengetahui banyaknya titik potong parabola dengan sumbu x dan jenisnya
  • Menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat tertentu.

Deret Geometri Tak Hingga

Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:

  1. Untuk r > 1 atau r < -1 Oleh karena r > 1 atau r < -1 maka nilai rn akan semakin besar jika n makin besar. Dalam hal ini,
    Untuk r > 1 dan n → ∞ maka rn→ ∞
    Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rn→ -∞.
    Sehingga diperoleh



    Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah
  2. Untuk -1 <>n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rn→ 0. Sehingga diperoleh



    Deret geometri tak hingga dengan -1 <>

Contoh

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian,

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3

Deret Geometri

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan geometri maka penjumlahan

U1 + U2+ U3 + ...+ Un merupakan deret geometri.

Secara umum, dari suatu barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un dengan U1= a da rasio = r, kita dapat memperoleh bentuk umum penjumlahan deret geometri, yaitu
Sn = U1 + U2+ U3 + ...+ Un = a + ar + ar2 + ... + arn-1

Untuk mendapatkan rumus n jumalah suku pertama dari deret geometri kita kalikan persamaan diatas dengan r, maka akan muncul persamaan baru:

(Sn . r) = ar + ar2 + ar3 + ... + arn

Selanjutnya kita eliminasi kedua persamaan tersebut dengan mengurangkannya:

Sn = a + ar + ar2 + ... + arn-1

(Sn . r) = ar + ar2 + ... + arn-1+ arn -


Sn - (Sn . r) = a - arn

Sn (1 - r) = a (1- rn)

Jadi rumus n suku pertama deret geometri adalah:



a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku

Pada deret geometri juga berlaku sifat:

Un= Sn - Sn-1