Jumlah dan Selisih Trigonometri

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Pembuktian:

Rumus penjumlahan dan pengurangan merupakan bentuk lain dari rumus perkalian sinus dan kosinus

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α . cos β

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α. sin β

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α . cos β

cos (α + β) - cos (α - β) = -2 cos α . cos β

Misalkan α + β = a dan α - β = b maka:

α + β = a

α - β = b +

---

α = 1/2(a + b)


α + β = a

α - β = b -

---

β = 1/2(a - b)

Sehingga rumus jumlah da selisih sinus dan kosinus menjadi :

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Contoh :
Tentukan nilai dari:

a. cos 75⁰ + cos 15⁰

b. sin 75 ⁰ + sin 15⁰

Jawaban :

a. cos 75⁰ + cos 15⁰ = 2 cos ½(75⁰+15⁰) . cos ½(75⁰-15⁰)

= 2 cos 45⁰. cos 30⁰

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

b. sin 75⁰ + sin 15⁰ = 2 sin ½(75⁰+15⁰) . cos ½(75⁰-15⁰)

= 2 sin 45⁰. cos 30⁰

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6