Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan barisan aritmatika. Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret aritmatika.

Rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmatika

S₁₀ = 20 + 30 + 40 + ... + 90 + 100 + 110

S₁₀ = 110 + 100 + 90 + ... + 40 + 30 + 20 ₊

---

2S₁₀ = 130 + 130 + 130 + ... + 130 + 130 + 130

2S₁₀ = 10 x 130

2S₁₀ = 10 x ( 20 + 110 )

S₁₀ = 1/2 x 10 x ( 20 + 110 )

Kita dapat melihat angka 10 didapat dari banyaknya suku (n), 130 didapat dari penjumlahan suku awal (a) dan suku akhir (U_n). Maka diperoleh:

S_n = 1/2 n (a + U_n)

Karena U_n = a + (n-1)b, maka

S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

Dari pengertian n suku pertama barisan aritmatika didapat sifat berikut :

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 + U_n

S_n-1 = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 +

---

S_n - S_n-1 = U_n

U_n = S_n - S_n-1

Jika U_n adalah suku ke n barisan aritmatika dan S_n adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika maka berlaku sifat

U_n = S_n - S_n-1

Contoh 1

Diketahui deret aritmatika : 5 + 11 + 17 + 23 + ...
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya
b. Hitung jumlah 30 suku pertama

a. S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

= 1/2 n (2(5) + (n-1)6)

= 5n + (n-1)3n

= 5n + 3n² - 3n

Jadi S_n = 3n² + 2n

b. S₃₀ = 3(30)² + 2(30) = 2760

Contoh 2:

Hitunglah 3 + 8 + 13 + ... + 98

Jawab:

a = 3, b = 5, Un = 98

Un = a + (n - 1)b

98 = 3 + (n - 1)5

98 = 3 + 5n - 5

5n = 100

n = 20

Jumlah deret itu adalah S₂₀ = 1/2. 20 (3 + 98) = 1110