Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan barisan aritmatika. Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret aritmatika.

Rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmatika

S₁₀ = 20 + 30 + 40 + ... + 90 + 100 + 110

S₁₀ = 110 + 100 + 90 + ... + 40 + 30 + 20 ₊

---

2S₁₀ = 130 + 130 + 130 + ... + 130 + 130 + 130

2S₁₀ = 10 x 130

2S₁₀ = 10 x ( 20 + 110 )

S₁₀ = 1/2 x 10 x ( 20 + 110 )

Kita dapat melihat angka 10 didapat dari banyaknya suku (n), 130 didapat dari penjumlahan suku awal (a) dan suku akhir (U_n). Maka diperoleh:

S_n = 1/2 n (a + U_n)

Karena U_n = a + (n-1)b, maka

S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

Dari pengertian n suku pertama barisan aritmatika didapat sifat berikut :

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 + U_n

S_n-1 = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 +

---

S_n - S_n-1 = U_n

U_n = S_n - S_n-1

Jika U_n adalah suku ke n barisan aritmatika dan S_n adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika maka berlaku sifat

U_n = S_n - S_n-1

Contoh 1

Diketahui deret aritmatika : 5 + 11 + 17 + 23 + ...
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya
b. Hitung jumlah 30 suku pertama

a. S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

= 1/2 n (2(5) + (n-1)6)

= 5n + (n-1)3n

= 5n + 3n² - 3n

Jadi S_n = 3n² + 2n

b. S₃₀ = 3(30)² + 2(30) = 2760

Contoh 2:

Hitunglah 3 + 8 + 13 + ... + 98

Jawab:

a = 3, b = 5, Un = 98

Un = a + (n - 1)b

98 = 3 + (n - 1)5

98 = 3 + 5n - 5

5n = 100

n = 20

Jumlah deret itu adalah S₂₀ = 1/2. 20 (3 + 98) = 1110

Bilangan Cacah

Pengertian

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah :

C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}

Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

1. Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}
2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}

Operasi pada bilangan cacah

1. Penjumlahan
   • komutatif : a + b = b + a
   • asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
   • unsur identitas (netral) adalah nol (0)
   • sifat tertutup pada penjumlahan
     Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
3. Perkalian
   • komutatif : a x b = b x a
   • asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
   • distributif :
     a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
     a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
   • unsur identitas perkalian adalah satu (1)
     a x 1 = a
     b x 1 = b
   • semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
     a x 0 = 0
     b x 0 = 0
   • sifat tertutup perkalian
     semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
4. Pembagian
   • Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
     a : b = c ⟹ b x c = a
   • 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)
   • pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.

Barisan Geometri

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri apabila memenuhi

r adalah rasio atau pembanding. Dibawah ini adalah beberapa contoh dari barisan geometri.

1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... maka rasio = 4/2 = 8/4 = 16/8 dan seterusnya
2. 27, 9, 3, 1, 1/3, ... maka rasio = 27/9 = 9/3 = 3/1 dan seterusnya

Rumus suku ke- n barisan geometri

Jika diketahui suatu barisan bilangan geometri U₁, U₂, U₃, ..., U_n, dan U₁= a dengan rasionya r maka kita dapat menuliskan:

U₁= a

U₂= U₁.r = a.r = ar^2-1

U₃= U₂.r = (ar).r = ar^3-1

U₄= U₃.r = (ar²).r = ar^4-1

U_n= ar^n-1

Jadi rumus umum suku ke- n barisan geometri adalah

U_n= ar^n-1

Suku tengah barisan geometri

Perhatikan barisan geometri berikut

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶

Bila diambil 3 suku saja yaitu a, ar, ar². Maka Ut = ar, U₁ = a, U_n = ar²
U₁.U_n= a²r², maka Ut = akar a²r²

Bila diambil 5 suku maka Ut = ar², U₁ = a, U_n = ar⁴
U₁.U_n= a²r⁴, maka Ut = akar a²r⁴. Bagitu juga seterusnya.

Sehingga bila diambil n suku maka

dan suku tengah tersebut terletak pada urutan ke 1/2 (n + 1)

Sisipan barisan geometri

Misalkan U₁, U₂ adalah dua suku berurutan dari suatu barisa geometri dengan rasio r. Diantara U₁ dan U₂ disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru dengan rasio r', maka barisan baru yang terbentuk adalah

U₁, U₁.r', U₁.r'², ..., U₁.r'^k, U₂

Perbandingan antara dua suku yang berurutan tetap = r' maka

Barisan dan Deret

1. Barisan Aritmatika
   Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut sebagai beda (b)
   Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika:
   U_n = a + (n-1)b
   
   
2. Deret Aritmatika
   Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret aritmatika.
   Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:
   

   S_n = 1/2 n (a + U_n) atau S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

3. Barisan Geometri
   Suatu barisan dikatakan barisan geometri apabila perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (perbandingan) tetap tersebut sebagai rasio (r)
   Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri:
   U_n= ar^n-1
   
   
4. Deret Geometri
   Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan geometri maka penjumlahan U₁ + U₂+ U₃ + ...+ U_n merupakan deret geometri.
   Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
   
   
   
   
   
   
5. Deret Geometri Tak Hingga
   Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yag banyak sukunya tak hingga.
   
   Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 adalah deret divergen. Deret ini tidak memiliki limit jumlah. Deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 adalah deret geometri konvergen. Deret ini memiliki limit jumlah dengan rumus:
   
   

Barisan Aritmatika

Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika bila selisih antara dua suku yang berutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut beda (b).
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmatika!

a. 1, 5, 9, 13, ...
b. 2, 4, 8, 16, ...
c. 25, 22, 19, 16, ...

Untuk menentukan apakah barisan bilangan itu merupakan barisan aritmatika atau bukan, kita harus menentukan beda setiap suku berurutan. Barisan aritmatika selalu mempunyai beda yang sama.

a. Beda antara dua suku yang berurutan adalah 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang tetap = 4

b. Beda antara suku yang berurutan adalah 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8. Barisan ini bukan merupakan barisan aritmatika karena tidak mempunyai beda yang tetap.

c. Beda antara suku yang berurutan adalah 22-25=-3, 19-22=-3, 16-19. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang sama yaitu -3.

Menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b maka kita dapat menulis:

U₁ = a
U₂ = U₁ + b = a + b
U₃ = U₂ + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U₄ = U₃ + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b

U_n = a + (n-1)b

Contoh

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
a. Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
b. Suku ke 10 dari barisan tersebut.

a. 3, 7, 11, 15, ...
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah

U_n = a + (n-1)b

U_n = 4 + (n-1)4

U_n = 4n -1

Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah U_n = 4n -1

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh U_n = 4n -1. Dengan demikian,

U₁₀ = 4(10) -1 = 40 - 1 = 39

Jadi, suku ke 10 dari barisan tersebut adalah 39

Suku tengah barisan aritmatika

Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjildan lebih dari satu, tentu memiliki suku tengah (Ut). Suku tengah ini memiliki hubungan yang khas sebagai beriku:

Perhatikan barisan aritmatika:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Jika diambil tiga suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7. Maka Ut = 4, U₁=1, U_n= 7, berlaku hubungan:

Jika diambil lima suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7, 10, 13. Maka Ut = 7, U₁=1, U_n= 13, berlaku hubungan:

Demikian seterusnya jika diambil n suku ganjil maka berlaku hubungan :

Sisipan Barisan Aritmatika

Bila diketahui dua suku barisan aritmatika adalah x dan y. Diantara x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda b'. Maka barisan aritmatika tersebut dapat ditulis :

x, x + b', x + 2b', x + 3b', .... , x + kb', y (disisipkan sebanyak k)

Banyak sukunya menjadi k + 2

Selisih dua suku berurutan tetap. Maka berlaku :

(x + b') - x = y - (x + kb')

b' = y - x - kb'

kb' + b' = y - x

(k+1)b' = y - x

Karena y - x adalah beda mula-mula = b maka

Contoh :

Diantara tiap dua suku berurutan dari barisan 2, 11, 20 disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan baru tersebut!

Jawab :

Beda barisan semula (b) = 9 dan banyak bilangan yang disisipkan (k) = 2

Maka barisan yang terbentuk adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20

Trigonometri Sudut Istimewa

Yang dimaksud sudut istimewa adalah 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰. Untuk mencari nilai trigonometri sudut istimewa kita memakai grafik lingkaran.

• Sudut 0⁰ dan 90⁰
  
  Perhatikann gambar di bawah!
  
  
  
  
  Pada gambar diatas sisi depan = y , sisi miring = r (jari-jari lingkaran) , dan sisi samping = x. Karena jari jari lingkaran = 1 maka,
  
  Titik P (0,1)
  
  sin 0⁰ = y = 0
  cos 0⁰ = x = 1
  tan 0⁰ = y/x = 0
  
  Titik Q (0,1)
  sin 90⁰ = y = 1
  cos 90⁰ = x = 0
  tan 90⁰ = y/x = ~ ( tidak didefinisikan)
  
  
• Sudut 30⁰ dan 60⁰
  
  Perhatikann gambar di bawah!
  
  
  
  
  Untuk sudut 30 dan 60 derajat kita pakai grafik lingkaran yang berjari-jari 2. Segitiga diatas adalah segitiga sama sisi yang panjang sisinya = r, sehingga:
  
  r = 2
  y = 1/2 . r = 1
  
  Berdasarkan Teorema Pythagoras didapat
  
  
  Jadi,
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• Sudut 45⁰
  
  
  
  Pada segitiga diatas panjang x = y, berdasarkan Teorema Pythagoras didapat
  
  
  
  
  Jadi,
  
  
  
  
  
  
  
  

Trigonometri

Sejarah

Istilah trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu "trigonos" berarti segitiga dan "metron" yang berarti ukuran, secara harfiah trigonometri berarti ukuran segitiga. Dari berbagai peninggalan diketahui bahwa orang orang Mesir kuno merupakan orang pertama yang mengenal trigonometri.

Seoarang ahli astronomi bernama Hipparchus yang berasal dari Nicoccea, Yunani yang hidup pada tahun 160 - 120 SM merupakan penyumbang utama dalam ilmu trigonometri. Dia merupakan orang pertama yang membuat daftar trigonometri. Ahli matematika astronomi berkabangsaan Jerman bernama George Joachim Rhacticus (1514-1576) adalah orang pertama yang mempelajari trigonometri dengan menggunakan segitiga siku-siku, sedang orang Jerman lain bernama Bartholomus Pitiscuc (1561-1613) merupakan penulis buku pertama yang menggugunakan istilah trigonometri.

John Napier (1550-1617) yang berasal dari Skotlandia menggunakan logaritma untuk membantu penggunaan daftar trigonometri. Ahli matematika Inggris yang bernama William Oughtred (1514-1660) berusaha mengubah pandangan trigonometri menjadi pandangan secara aljabar, sedangkan Leonard Euler (1707-1783) seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss mengembangkan fungsi-fungsi trigonometri dari nisbah panjang garis menjadi bilangan.

Rumus Dasar

Nilai sin, cos, tan pada sudut istimewa

• Sin
  sin 0⁰ = 0
  sin 30⁰ = 1/2
  sin 45⁰ = 1/2√2
  sin 60⁰ = 1/2√3
  sin 90⁰ = 1
• Cos
  cos 0⁰ = 1
  cos 30⁰ = 1/2√3
  cos 45⁰ = 1/2√2
  cos 60⁰ = 1/2
  cos 90⁰ = 0
  
• Tan
  tan0⁰ = 0
  tan 30⁰ = 1/3√3
  tan 45⁰ = 1
  tan 60⁰ = √3
  tan 90⁰ = ~
  

Trigonometri untuk sudut berelasi

• Sudut 90⁰- α
  sin (90⁰- α) = cos α
  cos (90⁰- α) = sin α
  tan (90⁰- α) = cotan α
  
  
• Sudut 90⁰+ α
  sin (90⁰+ α) = cos α
  cos (90⁰+ α) = - sin α
  tan (90⁰+ α) = - cotan α


• Sudut 180⁰- α
  sin (180⁰- α) = sin α
  cos (180⁰- α) = - cos α
  tan (180⁰- α) = - tan α
  


• Sudut 180⁰+ α
  sin (180⁰+ α) = - sin α
  cos (180⁰+ α) = - cos α
  tan (180⁰+ α) = tan α
  
  
• Sudut 270⁰- α
  sin (270⁰- α) = - cos α
  cos (270⁰- α) = - sin α
  tan (270⁰- α) = cotan α
  
  


• Sudut 270⁰+ α
  sin (270⁰+ α) = - cos α
  cos (270⁰+ α) = sin α
  tan (270⁰+ α) = - cotan α
  
  
• Sudut 360⁰- α
  sin (360⁰+ α) = - sin α
  cos (360⁰+ α) = cos α
  tan (360⁰+ α) = - tan α
  
  
• Sudut - α
  sin (- α) = - sin α
  cos (- α) = cos α
  tan (- α) = - tan α
  


• Suatu Sudut
  sin (k.360⁰+α) = sin α
  cos (k.360⁰+α) = cos α
  tan (k.360⁰+α) = tan α
  
  sin (k.360⁰- α) = - sin α
  cos (k.360⁰- α) = cos α
  tan (k.360⁰- α) = - tan α

Grafik Trigonometri







Identitas Trigonometri







Trigonometri Dalam Segitiga Sembarang

• Kaidah Sinus
  
  
  


• Kaidah Cosinus
  
  a²= b²+ c² - 2bc cos A
  b²= a²+ c² - 2ac cos B
  c²= a²+ b² - 2ab cos C


• Luas Segitiga
  
  L = 1/2 ab sin C
  L = 1/2 ac sin B
  L = 1/2 bc sin A

Persamaan Trigonometri