Rabu, 25 Agustus 2010

Jumlah dan Selisih Trigonometri

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)


Pembuktian:

Rumus penjumlahan dan pengurangan merupakan bentuk lain dari rumus perkalian sinus dan kosinus

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α . cos β

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α. sin β

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α . cos β

cos (α + β) - cos (α - β) = -2 cos α . cos β

Misalkan α + β = a dan α - β = b maka:

α + β = a

α - β = b +

α = 1/2(a + b)


α + β = a

α - β = b -

β = 1/2(a - b)

Sehingga rumus jumlah da selisih sinus dan kosinus menjadi :

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Contoh :
Tentukan nilai dari:

a. cos 750 + cos 150

b. sin 75 0 + sin 150

Jawaban :

a. cos 750 + cos 150 = 2 cos ½(750+150) . cos ½(750-150)

= 2 cos 450. cos 300

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

b. sin 750 + sin 150 = 2 sin ½(750+150) . cos ½(750-150)

= 2 sin 450. cos 300

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

Dua

Dua

Satu

Satu

Fungsi Kuadrat

Fungsi x pada himpunan R yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c ∈R dan a ≠ 0, dinamakan fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola.

Menggambar grafik fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah berupa parabola. Perlu diingat bahwa penulisan f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis y = ax2 + bx + c.

Untuk menggambar grafik y = ax2 + bx + c, kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:

  • Menentukan titik potong grafik di sumbu x (akar-akar persamaan kuadrat)
  • Menentukan persamaan sumbu simetri:

  • Menentukan titik puncak parabola

    Puncak parabola merupakan pasangan berurutan dari sumbu simetri dengan nilai ekstrim (Nilai absolut / Nilai Mutlak)

Ciri-ciri parabola y = ax2 + bx + c, dari tanda-tanda a, b, c, dan D

  1. Apabila a > 0 maka parabola terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum)
    Apabila a <>
  2. Apabila tanda b sama dengan tanda a, maka puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu y
    Apabila b = 0, puncak parabola terletak pada sumbu y
    Apabila a berlawanan dengan b , maka puncak parabola berada di sebelah kanan sumbu y
  3. Apabila c > 0, maka parabola memotong sumbu y positif
    Apabila c = 0, maka parabola melalui pusat koordinat
    Apabila c <>
  4. Apabila D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik
    Apabila D = 0 maka parabola memotong sumbu x di satu titik
    Apabila D > 0 maka parabola tidak memotong sumbu x

Sketsa grafik fungsi kuadrat:






Diskriminan

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan rumus abc :

Bentuk b2 - 4ac pada rumus diatas disebut Diskriminan. Biasanya ditulis

D = b2 - 4ac

Sehingga rumus abc dapat ditulis :

Nilai diskriminan menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

  • Jika D > 0 maka persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real yang berbeda
  • Jika D = 0 maka persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real sama (akar kembar)
  • Jika D <>

Diskriminan persamaan kuadrat diantaranya digunakan untuk :

  • Menentukan nilai maksimum dan minimum
  • Mengetahui banyaknya titik potong parabola dengan sumbu x dan jenisnya
  • Menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat tertentu.

Deret Geometri Tak Hingga

Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:

  1. Untuk r > 1 atau r < -1 Oleh karena r > 1 atau r < -1 maka nilai rn akan semakin besar jika n makin besar. Dalam hal ini,
    Untuk r > 1 dan n → ∞ maka rn→ ∞
    Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rn→ -∞.
    Sehingga diperoleh



    Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah
  2. Untuk -1 <>n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rn→ 0. Sehingga diperoleh



    Deret geometri tak hingga dengan -1 <>

Contoh

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian,

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3

Deret Geometri

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan geometri maka penjumlahan

U1 + U2+ U3 + ...+ Un merupakan deret geometri.

Secara umum, dari suatu barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un dengan U1= a da rasio = r, kita dapat memperoleh bentuk umum penjumlahan deret geometri, yaitu
Sn = U1 + U2+ U3 + ...+ Un = a + ar + ar2 + ... + arn-1

Untuk mendapatkan rumus n jumalah suku pertama dari deret geometri kita kalikan persamaan diatas dengan r, maka akan muncul persamaan baru:

(Sn . r) = ar + ar2 + ar3 + ... + arn

Selanjutnya kita eliminasi kedua persamaan tersebut dengan mengurangkannya:

Sn = a + ar + ar2 + ... + arn-1

(Sn . r) = ar + ar2 + ... + arn-1+ arn -


Sn - (Sn . r) = a - arn

Sn (1 - r) = a (1- rn)

Jadi rumus n suku pertama deret geometri adalah:



a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku

Pada deret geometri juga berlaku sifat:

Un= Sn - Sn-1

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan barisan aritmatika. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret aritmatika.

Rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmatika

S10 = 20 + 30 + 40 + ... + 90 + 100 + 110

S10 = 110 + 100 + 90 + ... + 40 + 30 + 20 +


2S10 = 130 + 130 + 130 + ... + 130 + 130 + 130

2S10 = 10 x 130

2S10 = 10 x ( 20 + 110 )

S10 = 1/2 x 10 x ( 20 + 110 )

Kita dapat melihat angka 10 didapat dari banyaknya suku (n), 130 didapat dari penjumlahan suku awal (a) dan suku akhir (Un). Maka diperoleh:

Sn = 1/2 n (a + Un)

Karena Un = a + (n-1)b, maka

Sn = 1/2 n (2a + (n-1) b)

Dari pengertian n suku pertama barisan aritmatika didapat sifat berikut :

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un

Sn-1 = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 +


Sn - Sn-1 = Un

Un = Sn - Sn-1

Jika Un adalah suku ke n barisan aritmatika dan Sn adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika maka berlaku sifat

Un = Sn - Sn-1

Contoh 1

Diketahui deret aritmatika : 5 + 11 + 17 + 23 + ...
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya
b. Hitung jumlah 30 suku pertama

a. Sn = 1/2 n (2a + (n-1) b)

= 1/2 n (2(5) + (n-1)6)

= 5n + (n-1)3n

= 5n + 3n2 - 3n

Jadi Sn = 3n2 + 2n

b. S30 = 3(30)2 + 2(30) = 2760

Contoh 2:

Hitunglah 3 + 8 + 13 + ... + 98

Jawab:

a = 3, b = 5, Un = 98

Un = a + (n - 1)b

98 = 3 + (n - 1)5

98 = 3 + 5n - 5

5n = 100

n = 20

Jumlah deret itu adalah S20 = 1/2. 20 (3 + 98) = 1110

Bilangan Cacah

Pengertian

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah :

C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}

Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

  1. Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}
  2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
  3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
  4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
  5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
  6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}

Operasi pada bilangan cacah

  1. Penjumlahan
    • komutatif : a + b = b + a
    • asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
    • unsur identitas (netral) adalah nol (0)
    • sifat tertutup pada penjumlahan
      Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
  2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
  3. Perkalian
    • komutatif : a x b = b x a
    • asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
    • distributif :
      a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
      a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
    • unsur identitas perkalian adalah satu (1)
      a x 1 = a
      b x 1 = b
    • semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
      a x 0 = 0
      b x 0 = 0
    • sifat tertutup perkalian
      semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
  4. Pembagian
    • Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
      a : b = c ⟹ b x c = a
    • 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)
    • pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.

Barisan Geometri

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri apabila memenuhi

r adalah rasio atau pembanding. Dibawah ini adalah beberapa contoh dari barisan geometri.

  1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... maka rasio = 4/2 = 8/4 = 16/8 dan seterusnya
  2. 27, 9, 3, 1, 1/3, ... maka rasio = 27/9 = 9/3 = 3/1 dan seterusnya

Rumus suku ke- n barisan geometri

Jika diketahui suatu barisan bilangan geometri U1, U2, U3, ..., Un, dan U1= a dengan rasionya r maka kita dapat menuliskan:

U1= a

U2= U1.r = a.r = ar2-1

U3= U2.r = (ar).r = ar3-1

U4= U3.r = (ar2).r = ar4-1

Un= arn-1

Jadi rumus umum suku ke- n barisan geometri adalah

Un= arn-1

Suku tengah barisan geometri

Perhatikan barisan geometri berikut

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6

Bila diambil 3 suku saja yaitu a, ar, ar2. Maka Ut = ar, U1 = a, Un = ar2
U1.Un= a2r2, maka Ut = akar a2r2

Bila diambil 5 suku maka Ut = ar2, U1 = a, Un = ar4
U1.Un= a2r4, maka Ut = akar a2r4. Bagitu juga seterusnya.

Sehingga bila diambil n suku maka

dan suku tengah tersebut terletak pada urutan ke 1/2 (n + 1)

Sisipan barisan geometri

Misalkan U1, U2 adalah dua suku berurutan dari suatu barisa geometri dengan rasio r. Diantara U1 dan U2 disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru dengan rasio r', maka barisan baru yang terbentuk adalah

U1, U1.r', U1.r'2, ..., U1.r'k, U2

Perbandingan antara dua suku yang berurutan tetap = r' maka




Barisan dan Deret

  1. Barisan Aritmatika
    Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut sebagai beda (b)
    Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika:
    Un = a + (n-1)b

  2. Deret Aritmatika
    Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret aritmatika.
    Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:

    Sn = 1/2 n (a + Un) atau Sn = 1/2 n (2a + (n-1) b)

  3. Barisan Geometri
    Suatu barisan dikatakan barisan geometri apabila perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (perbandingan) tetap tersebut sebagai rasio (r)
    Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri:
    Un= arn-1

  4. Deret Geometri
    Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan geometri maka penjumlahan U1 + U2+ U3 + ...+ Un merupakan deret geometri.
    Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:





  5. Deret Geometri Tak Hingga
    Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yag banyak sukunya tak hingga.

    Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 adalah deret divergen. Deret ini tidak memiliki limit jumlah. Deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 adalah deret geometri konvergen. Deret ini memiliki limit jumlah dengan rumus:

Barisan Aritmatika

Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika bila selisih antara dua suku yang berutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut beda (b).
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmatika!

a. 1, 5, 9, 13, ...
b. 2, 4, 8, 16, ...
c. 25, 22, 19, 16, ...

Untuk menentukan apakah barisan bilangan itu merupakan barisan aritmatika atau bukan, kita harus menentukan beda setiap suku berurutan. Barisan aritmatika selalu mempunyai beda yang sama.

a. Beda antara dua suku yang berurutan adalah 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang tetap = 4

b. Beda antara suku yang berurutan adalah 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8. Barisan ini bukan merupakan barisan aritmatika karena tidak mempunyai beda yang tetap.

c. Beda antara suku yang berurutan adalah 22-25=-3, 19-22=-3, 16-19. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang sama yaitu -3.

Menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b maka kita dapat menulis:

U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b

Un = a + (n-1)b

Contoh

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
a. Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
b. Suku ke 10 dari barisan tersebut.

a. 3, 7, 11, 15, ...
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah

Un = a + (n-1)b

Un = 4 + (n-1)4

Un = 4n -1

Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah Un = 4n -1

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n -1. Dengan demikian,

U10 = 4(10) -1 = 40 - 1 = 39

Jadi, suku ke 10 dari barisan tersebut adalah 39

Suku tengah barisan aritmatika

Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjildan lebih dari satu, tentu memiliki suku tengah (Ut). Suku tengah ini memiliki hubungan yang khas sebagai beriku:

Perhatikan barisan aritmatika:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Jika diambil tiga suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7. Maka Ut = 4, U1=1, Un= 7, berlaku hubungan:

Jika diambil lima suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7, 10, 13. Maka Ut = 7, U1=1, Un= 13, berlaku hubungan:

Demikian seterusnya jika diambil n suku ganjil maka berlaku hubungan :

Sisipan Barisan Aritmatika

Bila diketahui dua suku barisan aritmatika adalah x dan y. Diantara x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda b'. Maka barisan aritmatika tersebut dapat ditulis :

x, x + b', x + 2b', x + 3b', .... , x + kb', y (disisipkan sebanyak k)

Banyak sukunya menjadi k + 2

Selisih dua suku berurutan tetap. Maka berlaku :

(x + b') - x = y - (x + kb')

b' = y - x - kb'

kb' + b' = y - x

(k+1)b' = y - x

Karena y - x adalah beda mula-mula = b maka

Contoh :

Diantara tiap dua suku berurutan dari barisan 2, 11, 20 disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan baru tersebut!

Jawab :

Beda barisan semula (b) = 9 dan banyak bilangan yang disisipkan (k) = 2

Maka barisan yang terbentuk adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20

Kamis, 05 Agustus 2010

Trigonometri Sudut Istimewa

Yang dimaksud sudut istimewa adalah 00, 300, 450, 600, dan 900. Untuk mencari nilai trigonometri sudut istimewa kita memakai grafik lingkaran.

  • Sudut 00 dan 900

    Perhatikann gambar di bawah!




    Pada gambar diatas sisi depan = y , sisi miring = r (jari-jari lingkaran) , dan sisi samping = x. Karena jari jari lingkaran = 1 maka,

    Titik P (0,1)

    sin 00 = y = 0
    cos 00 = x = 1
    tan 00 = y/x = 0

    Titik Q (0,1)
    sin 900 = y = 1
    cos 900 = x = 0
    tan 900 = y/x = ~ ( tidak didefinisikan)

  • Sudut 300 dan 600

    Perhatikann gambar di bawah!




    Untuk sudut 30 dan 60 derajat kita pakai grafik lingkaran yang berjari-jari 2. Segitiga diatas adalah segitiga sama sisi yang panjang sisinya = r, sehingga:

    r = 2
    y = 1/2 . r = 1

    Berdasarkan Teorema Pythagoras didapat


    Jadi,










  • Sudut 450



    Pada segitiga diatas panjang x = y, berdasarkan Teorema Pythagoras didapat




    Jadi,







Minggu, 01 Agustus 2010

Trigonometri

Sejarah

Istilah trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu "trigonos" berarti segitiga dan "metron" yang berarti ukuran, secara harfiah trigonometri berarti ukuran segitiga. Dari berbagai peninggalan diketahui bahwa orang orang Mesir kuno merupakan orang pertama yang mengenal trigonometri.

Seoarang ahli astronomi bernama Hipparchus yang berasal dari Nicoccea, Yunani yang hidup pada tahun 160 - 120 SM merupakan penyumbang utama dalam ilmu trigonometri. Dia merupakan orang pertama yang membuat daftar trigonometri. Ahli matematika astronomi berkabangsaan Jerman bernama George Joachim Rhacticus (1514-1576) adalah orang pertama yang mempelajari trigonometri dengan menggunakan segitiga siku-siku, sedang orang Jerman lain bernama Bartholomus Pitiscuc (1561-1613) merupakan penulis buku pertama yang menggugunakan istilah trigonometri.

John Napier (1550-1617) yang berasal dari Skotlandia menggunakan logaritma untuk membantu penggunaan daftar trigonometri. Ahli matematika Inggris yang bernama William Oughtred (1514-1660) berusaha mengubah pandangan trigonometri menjadi pandangan secara aljabar, sedangkan Leonard Euler (1707-1783) seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss mengembangkan fungsi-fungsi trigonometri dari nisbah panjang garis menjadi bilangan.

Rumus Dasar

Nilai sin, cos, tan pada sudut istimewa

  • Sin
    sin 00 = 0
    sin 300 = 1/2
    sin 450 = 1/2√2
    sin 600 = 1/2√3
    sin 900 = 1
  • Cos
    cos 00 = 1
    cos 300 = 1/2√3
    cos 450 = 1/2√2
    cos 600 = 1/2
    cos 900 = 0
  • Tan
    tan00 = 0
    tan 300 = 1/3√3
    tan 450 = 1
    tan 600 = √3
    tan 900 = ~

Trigonometri untuk sudut berelasi

  • Sudut 900- α
    sin (900- α) = cos α
    cos (900- α) = sin α
    tan (900- α) = cotan α

  • Sudut 900+ α
    sin (900+ α) = cos α
    cos (900+ α) = - sin α
    tan (900+ α) = - cotan α

  • Sudut 1800- α
    sin (1800- α) = sin α
    cos (1800- α) = - cos α
    tan (1800- α) = - tan α

  • Sudut 1800+ α
    sin (1800+ α) = - sin α
    cos (1800+ α) = - cos α
    tan (1800+ α) = tan α

  • Sudut 2700- α
    sin (2700- α) = - cos α
    cos (2700- α) = - sin α
    tan (2700- α) = cotan α


  • Sudut 2700+ α
    sin (2700+ α) = - cos α
    cos (2700+ α) = sin α
    tan (2700+ α) = - cotan α

  • Sudut 3600- α
    sin (3600+ α) = - sin α
    cos (3600+ α) = cos α
    tan (3600+ α) = - tan α

  • Sudut - α
    sin (- α) = - sin α
    cos (- α) = cos α
    tan (- α) = - tan α

  • Suatu Sudut
    sin (k.3600+α) = sin α
    cos (k.3600+α) = cos α
    tan (k.3600+α) = tan α

    sin (k.3600- α) = - sin α
    cos (k.3600- α) = cos α
    tan (k.3600- α) = - tan α
Grafik Trigonometri







Identitas Trigonometri







Trigonometri Dalam Segitiga Sembarang
  • Kaidah Sinus



  • Kaidah Cosinus

    a2= b2+ c2 - 2bc cos A
    b2= a2+ c2 - 2ac cos B
    c2= a2+ b2 - 2ab cos C

  • Luas Segitiga

    L = 1/2 ab sin C
    L = 1/2 ac sin B
    L = 1/2 bc sin A
Persamaan Trigonometri